CL-AF Auslosung: gegen Valencia am wahrscheinlichsten (BVB)

Freyr, Donnerstag, 12.12.2019, 00:42 (vor 1598 Tagen) @ hohesC
bearbeitet von Freyr, Donnerstag, 12.12.2019, 01:00

Ist es möglich die genaue Wahrscheinlichkeit auszurechnen? Also ohne Simulationen.

Ja das ist möglich.

Wenn ja, wie?

Wir haben 8 Gruppensieger und 8 Gruppenzweite. Könnte jeder Erste gegen jeden Zweiten Spielen hätte man 64 mögliche Paarungen (8*8) und 40320 mögliche Kombinationen (8!). Hier hätte also auch jedes Team die genau gleiche Wahrscheinlichkeit auf ein anderes Team zu treffen. Nun gibt es aber zwei Einschränkungen.
1) Teams aus den gleichen Gruppen dürfen nicht gegeneinander spielen
2) Teams aus den gleichen Verband dürfen nicht gegeneinander spielen

So bleiben nur 43 (=64 -8 Paarungen gleiches Team -13 Paarungen gleicher Verband) mögliche Paarungen übrig. (Man kann das in meinem Schaubild nachzählen). Und die Kombinationen der Gesamtauslosung verringert sich von 40320 auf 2002 (lässt sich mathematisch mit Hilfe des Rook Polynomial berechnen https://en.wikipedia.org/wiki/Rook_polynomial
In diesen 2002 Kombinationen kommt also womöglich die Paarung BVB-Valencia 440 mal vor. Und die BVB-PSG 243 mal.
(ist jetzt geschätzt, müsste man gesondert nachrechnen)

Wenn nein, warum?

Das führt zu deiner letzten Frage. Leider lässt sich für die UEFA-Auslosung nicht aus der Gesamtanzahl möglicher Kombinationen mit bestimmten Paarungen einfach die Wahrscheinlichkeit berechnen (also technisch gesehen lässt sie sich schon so exakt berechnen, aber sie stimmt dann nicht mit der UEFA überein). Es gibt da den "Drawing Process Bias". Das heißt ganz simpel zusammengefasst, dass die UEFA es so lost, dass am Ende nicht plötzlich ein unmögliche Paarung übrig bleibt. Daher gibt es da diesen bias und man behilft sich mit Simulationen.

Ich hoffe das war halbwegs verständlich. Bei dem letzten Punkt, des bias, könnte vielleicht das sonst jemand kundiges ausführen. Ich finde die lange Antwort leider nicht mehr, wo das erläutert wurde.